当你拨动吉他的弦试图演奏某个音符时，通常很难出错。这并不是说初学者总能轻松地正确演奏吉他，而是当以某种确定的方式拨动琴弦时，总会发出符合预期音调的旋律，听起来相当悦耳。然而，当初学者尝试拉小提琴时，情况就变得更复杂了。当弓看似以规定的方式拉动琴弦，弦却可能会发出刺耳的哨声、尖叫声或吱呀声，而不是预期中的声音

　　研究发现，类似于吉他演奏的各种拨弦过程可以用线性系统理论来描述。线性系统的基本特征是，如果你能找到控制方程的两个不同解，那么这两个解的和也是一个解。在振动问题中，这个结论可以直接解释很多物理现象。

　　振动的物体（例如受扰动的绷紧琴弦）具有特定的共振频率，每个共振频率对应一种特定的振动模式（振动模）。这些振动模式就是琴弦调音时所对应的音符的“基音”和“谐音”。如果琴弦以其中一种振动模式开始振动，它将保持相应的共振频率，同时随着能量以声音和热量的形式散失，振动模式的振幅会逐渐衰减。

　　如果琴弦的初始振动中包含多个振动模，线性原则就会发挥作用。每个振动模以各自的频率独立振动，发出的声音（振动机械波）是各振动模的线性叠加。通过在不同位置拨动琴弦（例如，在琴颈或靠近琴马的地方）或使用不同的拨片，吉他演奏者可以轻松地以不同的线性叠加方式混合不同的振动模式，同时确保振动所产生的共振频率组合始终相同。从音乐的角度来看，听众听到的音高保持一致，但音质会有所变化。

　　用弓拉弦则有所不同。只要以固定的幅度持续拉动琴弦，小提琴就可以持续发出一个音符，保持琴弦的振幅。尽管能量会以声音和热量的形式散失，但弓会以恰当的速度提供额外的能量来补偿此损失。在这种情况下，琴弦的振动满足非线性系统的特征，对于这种系统，不能按照前文提到的方式将不同振动模式的贡献进行线性叠加。非线性系统的理论更加复杂，可能会导致难以理解的结果和混乱的行为。拉小提琴时，可能会听到悠扬的琴声，也可能听到刺耳的杂音，这就是非线性系统复杂行为的一个例子。这个结论同样适用于其他能够持续发音的乐器，如木管乐器和铜管乐器。

　　那么，小提琴的弦是如何振动的呢？140年前，赫尔曼·冯·亥姆霍兹（Hermann von Helmholtz）首次回答了这个问题。当小提琴演奏出正常的声音时，可以观察到琴弦的振动。从肉眼来看，琴弦似乎以抛物线的形状来回移动，这看起来很像波动的绷紧琴弦所产生的第一个自由振动模。

　　然而，经过仔细观察，亥姆霍兹发现琴弦的运动方式非常出乎意料：琴弦实际上呈现“V”形的运动，即振动的琴弦被划分为两个直线部分，它们在一个尖角处相交。我们用肉眼看到的琴弦运动轮廓呈弯曲状（抛物线），是因为这个尖角沿着这条曲线来回移动。因此，我们通常只能看到琴弦运动的轮廓或“包络”。

　　折线V 的顶角处沿着琴弦来回移动，称为亥姆霍兹角。每当亥姆霍兹角经过琴弓时，就会触发粘滞摩擦和滑动摩擦之间的转换：当亥姆霍兹角从琴弓移动到手指并返回时，琴弦会粘附在琴弓上并被拖动（此时弦与弓的运动方向相同）；当亥姆霍兹角经过弓并移向琴马时，琴弦在弓毛上滑动（朝着与琴弓相反的方向移动）。两种摩擦力的交替作用向系统引入了非线性特征。

　　如果小提琴演奏家上弓时按得不够用力，那么琴弦可能会发生额外的振动，而无法产生亥姆霍兹运动，如下图所示：

　　现在琴弦上出现了两个V形夹角，并且每个振动周期内存在两个滑移。结果是弦产生的音调与亥姆霍兹运动相同，但波形的不同导致声音听起来与亥姆霍兹振动有所区别。（巧合的是，尽管人们此前并不知道这两种声音背后的物理区别，但）在西方古典小提琴家的眼中，发出这种声音是初学者的典型错误之一。你的小提琴老师很可能会称这种声音为“表面音”，并告诫你多加练习以避免它。通过研究亥姆霍兹运动到双滑运动的转变点，可以确定小提琴演奏时可接受的最低弓压水平，即施加在琴弦上的弓压。

　　有一个可接受的最小弓压，同样也存在一个可接受的最大弓压。如果弓压得太紧，小提琴可能会发出刺耳的“吱呀”声，而不是悦耳的音符。在这种情况下，琴弦的振动不再有规律，而是变成了混乱的模式。毫无疑问，这也会导致你收到小提琴老师“多加练习”的建议。

　　分析最小和最大弓压的条件后，我们可以得出一些有趣的解释，说明小提琴为何很难演奏。对这两 个结果进行统一分析，发现它们都取决于琴弓在琴弦上的位置。假设琴弦的长度为 ，弓与琴马的距离为 ，其中 在正常的小提琴演奏中通常是一个相当小的数字。可以证明最大弓压与 成正比，而最小弓压与 成正比。 ，其中 在正常的小提琴演奏中通常是一个相当小的数字。可以证明最大弓压与 成正比，而最小弓压与 成正比。 结合这两个条件我们可以总结得到下面这张图，它由约翰·谢伦（John Schelleng）在 20 世纪 60 年代首次提出。为了可视化方便，我们将弓压和弓位置在对数刻度上绘制，这样两个幂律关系就变成了直线。它们之间的关系看起来像这样：

　　阴影楔形显示了可以实现亥姆霍兹运动的区域。在该区域之外，琴弦会陷入两种典型错误振动之一。显然，如果弓远离琴马，更容易产生亥姆霍兹运动：如果琴弓离琴马太近，最大弓压和最小弓压会非常接近，导致几乎无法实现亥姆霍兹运动。

　　对于小提琴初学者来说，这幅图揭示了一些重要信息。当初学者尝试演奏时，他们的脑海里往往充满了各种事情：既要控制琴弓以触碰正确的琴弦，又要移动左手以弹奏正确的音符，还有许多其他注意事项。因此，初学者很可能忽视琴弓在琴弦上的位置，换句话说，初学者可能会无意识地沿着谢伦图中的水平线随机移动。此时即使不改变弓压，也可能导致弓压-弓位离开理想演奏的亥姆霍兹区域（从而使小提琴的声音听起来不那么悦耳）。

　　当然，这并不能完全解释为什么演奏小提琴需要大量练习。谢伦图实际上只告诉我们，在长时间、稳定的拉弓过程中，如何获得理想的亥姆霍兹运动。

　　但小提琴家不仅仅想以一种稳定的拉弓方式长时间演奏。出于音乐表达目的，演奏者会使用各种不同的运弓技巧，例如马特莱（martelé，突然释放的锤击弓法）和跳音（弓从琴弦上弹起的快速分离音符）。更高级别的演奏者会关心这样的问题：“如果我以某种方式击弓，能否产生亥姆霍兹运动？需要多长时间才能建立起来？”第二个问题尤其重要，因为琴弦通常会经历一段短暂的不规则运动，这可能使声音的开头听起来刺耳。良好的运弓技巧会尽量缩短这段不规则运动的持续时间，迅速建立亥姆霍兹运动，从而发出悦耳的音符。

　　这引出了乐器可演奏性的概念。众所周知，有些小提琴比其他小提琴更加昂贵，尽管大部分小提琴看起来非常相似。是什么导致了这种差异呢？其中一个原因是乐器的“声音之美”，这很难用科学术语来解释，因为首先需要找出听众对美妙声音的定义。然而，第二个原因却更容易科学地解释，演奏者不仅对声音的质量感兴趣，无论它究竟意味着什么，他们也希望知道演奏的困难程度——乐器的可演奏性。如果你观察小提琴家试奏乐器，你可能会听到这样的评论：“我不太喜欢这把琴的声音，但它演奏起来很容易”，或者“这把琴的声音不错，但很难发音（它反应很慢）”。如果一把小提琴比另一把能更好的适应演奏，也就是它能更稳定或更快地产生亥姆霍兹运动，那么这把小提琴很可能会受到演奏者的青睐。

　　相比于声音之美，科学家发现可演奏性问题更适合通过拉弦的数学模型进行研究。在过去的30年里，研究人员开发出了越来越复杂的模型。这些复杂的模型无法解析求解，但可以通过计算机进行模拟，从而了解在特定的拉弦方式下，特定小提琴上的琴弦如何响应。这些模型能够解释小提琴演奏中许多复杂表现背后的原因，并且已经反过来帮助探索琴弦的设计问题，即如何修改琴弦、琴弓或小提琴琴身的设计以提高可演奏性。

　　这些理论的另一个有趣影响是，这些模型也被直接用于音乐制作。随着计算机速度的提升，实时运行越来越复杂的模型变得可行，从而能够创造出“虚拟乐器”，也就是基于声学乐器的数学模型的电子乐器。一些最昂贵的音乐合成器系统采用这种方法，这就是所谓的物理建模合成。

　　考虑到小提琴弓弦振动的复杂方式，小提琴是一种难学的乐器也就不足为奇了。无论是对于刚开始学习拉弓的初学者，还是正在掌握弓法技巧的高阶演奏者，都要时刻留意实现亥姆霍兹运动与产生不可接受的刺耳声音之间的界限。而对于那些从未拉过小提琴的人来说，另一条路也正在成为可能：对弓弦物理模型的研究可能最终能让他们（通过模拟的方式）演奏虚拟小提琴。